La Loi des Grands Nombres : Pile ou Face

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La vitesse de convergence se calcule : pour une proportion, l'écart type vaut √(p(1−p)/n), soit 5 % à 100 lancers, 1,6 % à 1 000 et 0,5 % à 10 000. Gagner un facteur 10 en précision coûte donc 100 fois plus de lancers. Cette racine carrée démonte aussi une intuition tenace, l'illusion du « rattrapage » : après 8 piles d'affilée, la pièce n'a aucune mémoire et la probabilité du lancer suivant reste 1/2. Le déficit de faces n'est jamais compensé, il est dilué — en valeur absolue, l'écart entre piles et faces a même tendance à croître comme √n, alors que l'écart en pourcentage fond.

La pièce parfaitement équilibrée est d'ailleurs une idéalisation. En 2007, le mathématicien Persi Diaconis a prédit par la mécanique du vol (précession de la pièce) qu'une pièce lancée et rattrapée retombe du côté de départ un peu plus d'une fois sur deux. En 2023, l'équipe de František Bartoš a mis la prédiction à l'épreuve sur 350 757 lancers filmés : 50,8 % du côté de départ. Biais minuscule, invisible sur vos 200 lancers, mais bien réel — et détectable uniquement grâce à la loi que vous venez de vérifier.

Pour les ados et les parents curieux 🤓

Rien de dangereux ici : une pièce et du papier suffisent.

Avec les plus jeunes, gardez un œil sur les pièces, qui ne doivent pas finir à la bouche.

❌ Après 200 lancers, le compteur reste bloqué vers 58 % de piles.

✔️ Un tel écart à 200 lancers est possible mais peu probable (l'écart typique est de ±3,5 %) : suspectez la technique. Faites tournoyer franchement la pièce, laissez-la tomber au sol plutôt que de la rattraper, et alternez le côté posé sur le pouce au départ, car une pièce rattrapée retombe légèrement plus souvent du côté où elle a commencé.

❌ On perd le compte en cours de série.

✔️ Travaillez par paquets de 10 lancers : bâtonnets groupés par 5 sur la feuille, une ligne de tableau complétée à chaque paquet, puis calcul du pourcentage cumulé. À deux, c'est plus fiable : l'un lance et annonce, l'autre note et vérifie que le total des P et des F correspond bien au nombre de lancers.

❌ La courbe ne se pose jamais exactement sur 50 %.

✔️ Elle n'a pas à le faire : c'est justement le résultat de l'expérience. La loi des grands nombres promet que l'écart relatif diminue, pas que la courbe se fige sur 50,0 %. À 200 lancers, tout résultat entre 45 et 55 % est conforme ; l'important est que les oscillations soient de plus en plus resserrées qu'au début.

📜 La petite histoire

Pendant la Seconde Guerre mondiale, le mathématicien sud-africain John Kerrich, de passage au Danemark au moment de l'invasion allemande, passe sa captivité dans un camp d'internement à lancer une pièce : 10 000 lancers soigneusement consignés, 5 067 piles, soit 50,67 %. Publiée en 1946, cette série reste l'une des vérifications expérimentales les plus célèbres de la loi des grands nombres, et elle illustre exactement ce que montre votre graphique : des débuts erratiques, puis une fréquence qui se resserre autour de 50 % sans jamais s'y coller parfaitement.

💡 Bon à savoir : L'expérience demande beaucoup de patience et de rigueur, car lancer une pièce manuellement des centaines de fois peut devenir répétitif pour un enfant seul. L'utilisation d'un tableur ou d'un simulateur en ligne aide à visualiser le résultat sans se fatiguer le pouce.

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