⏱️DURÉE45 min
🎯DIFFICULTÉFacile
👶ÂGEDès 10 ans
🧹PROPRETÉPropre
🏠LIEUIntérieur
✅TAUX DE RÉUSSITE85%
Pi se cache partout — même dans une boîte d'allumettes lancées au hasard ! En 1777, Buffon a découvert que les probabilités de hasard font naturellement apparaître π. Reproduis cette expérience historique.
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Activité à faire toute l'année, en famille ou en classe !
🧪 Matériel nécessaire
- 🔥 Allumettes (ou cure-dents) 50-100 · supermarché
- 📄 Papier ligné (lignes espacées = longueur des allumettes) 2-3 feuilles · maison
- 📏 Règle 1 · maison
- 🔢 Calculatrice 1 · téléphone / maison
📋 Étapes de l’expérience
1
Préparer la surface
Tracez des lignes parallèles espacées exactement de la longueur d'une allumette. Mesurez la longueur de vos allumettes et reproduisez cet espacement sur toute la feuille.
💡 L'espacement doit être EXACTEMENT égal à la longueur des allumettes — c'est la condition de l'expérience.
2
Lancer les allumettes
Lancez les allumettes une par une sur le papier ligné depuis une hauteur de 20 cm. Pour chaque allumette : notez si elle CROISE une ligne (C) ou pas (NC). Lancez au moins 50 fois pour de bons résultats.
💡 Plus vous lancez (100, 200, 500 fois), plus votre estimation de Pi sera précise !
3
Calculer Pi
Appliquez la formule de Buffon : Pi ≈ (2 × nombre total de lancers) ÷ (nombre de croisements). Exemple : 100 lancers, 64 croisements → Pi ≈ 200/64 ≈ 3,125 !
💡 Avec 100 lancers, vous obtiendrez Pi à ±10%. Avec 1000, à ±3%. La précision augmente avec le nombre d'essais !
🤓 Pourquoi ça marche ?
La formule de Buffon dit : la probabilité qu'une aiguille de longueur L croise une des lignes espacées de D (avec L ≤ D) est : P = 2L/(πD) Si L = D (longueur d'allumette = espacement), alors P = 2/π. En observant expérimentalement combien d'allumettes croisent les lignes, on mesure P directement. Et donc : π = 2/P = 2 × (lancers totaux) / (croisements). C'est la méthode de Monte Carlo : utiliser le hasard et les probabilités pour calculer des valeurs mathématiques précises. Les ordinateurs utilisent cette approche pour des calculs scientifiques complexes (physique des particules, finance, météo).
Concepts scientifiques
probabilitésméthode de Monte CarloPigéométrie probabilistestatistiques
📚 Au programme scolaire : 3ème – Terminale
📖 Approfondir : Qu'est-ce que Pi et pourquoi est-il infini ?
🔭 La science en détail
D'où vient la formule ? La position d'une allumette se résume à deux nombres : la distance x de son centre à la ligne la plus proche (entre 0 et D/2) et son angle θ avec les lignes (entre 0 et 90°). Elle croise une ligne quand x ≤ (L/2)·sin θ. Le hasard rend toutes les positions et tous les angles équiprobables ; en moyennant sin θ sur tous les angles — un calcul d'intégrale — on obtient une valeur moyenne de 2/π, d'où P = 2L/(πD). Le nombre π s'invite parce que l'angle de chute balaie un arc de cercle : la géométrie du cercle est cachée dans la rotation de l'allumette.
La précision, elle, obéit à la loi des grands nombres : l'erreur type décroît en 1/√N. Concrètement, gagner une décimale de précision coûte cent fois plus de lancers, ce qui rend la méthode inefficace pour calculer π mais formidable pour comprendre les simulations de Monte Carlo. Les versions informatiques du même principe tirent des milliards de nombres pseudo-aléatoires pour simuler le transport des neutrons dans un réacteur, les doses en radiothérapie ou le prix d'options financières, partout où le calcul direct est inextricable.
Pour les ados et les parents curieux 🤓
⚠️ Sécurité
⚠️
Les allumettes avec phosphore ne doivent pas être allumées pendant l'expérience
🛠️ Ça n’a pas marché ? Les ratés les plus fréquents
🚀 Pour aller plus loin
✨ Augmentez progressivement le nombre de lancers et tracez l'évolution de votre estimation de Pi
✨ Simulez l'expérience numériquement avec Excel ou Python pour faire 10 000 lancers virtuels
✨ Essayez avec des allumettes de longueur double (L = 2D) — la formule change
📜 La petite histoire
En 1901, l'Italien Mario Lazzarini affirme avoir obtenu π = 3,1415929 en 3 408 lancers, exact à six décimales. Trop beau : les statisticiens ont montré que ce nombre de lancers est précisément choisi pour retomber sur la fraction 355/113, et l'expérience est aujourd'hui considérée comme arrangée — belle leçon sur les résultats trop parfaits. La méthode a pris sa revanche sous un autre nom : baptisée « Monte Carlo » en 1947 par Stanislaw Ulam et Nicholas Metropolis au laboratoire de Los Alamos, elle a servi aux premiers calculs de neutronique sur l'ordinateur ENIAC et reste un outil majeur du calcul scientifique.
💡 Bon à savoir : Cette expérience demande beaucoup de patience et de rigueur : il faut lancer l'allumette des centaines de fois pour obtenir un chiffre vraiment proche de Pi. Une petite erreur de mesure dans l'espacement des lignes peut aussi vite fausser ton résultat final.
🔬
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❓ Questions fréquentes
Pourquoi peut-on calculer Pi avec de simples allumettes ?
C'est une question de géométrie et de probabilités. Lorsqu'une allumette tombe, son angle et sa position déterminent si elle croise une ligne, et le nombre Pi intervient mathématiquement dans le calcul de toutes les orientations possibles de l'allumette.
Combien de lancers sont nécessaires pour obtenir un résultat précis ?
Plus tu réalises de lancers, plus ton estimation sera proche de 3,14. Si 100 lancers donnent une approximation correcte, les mathématiciens effectuent souvent des milliers de simulations pour éliminer les erreurs dues au hasard.
Peut-on utiliser des cure-dents ou des aiguilles à la place ?
Tout objet droit et fin fonctionne parfaitement pour cette expérience. Assure-toi simplement que l'écart entre tes lignes tracées au sol soit exactement égal à la longueur de l'objet que tu lances pour que la formule reste simple.
C'est quoi la méthode de Monte-Carlo utilisée par les scientifiques ?
C'est une technique qui utilise le hasard pour résoudre des problèmes mathématiques complexes. Les chercheurs l'utilisent aujourd'hui avec des ordinateurs ultra-puissants pour prédire la météo ou simuler des réactions nucléaires.
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